Кривая Лаффера
Эффективной ставкой налогообложения называется доля налоговых сборов Tx от ВВП Y. Предположим, что ВВП Y(\tau) Свободной, Но Пока Небогатой Республики линейно зависит от эффективной ставки налогообложения \tau (0\leq \tau \leq 1). При \tau=0 и \tau=1 ВВП равен соответственно Y_{max} и 0.
Предыдущий кабинет министров Республики установил такое значение эффективной ставки налогообложения, чтобы максимизировать величину налоговых сборов, за что и был распущен. В обновлённый кабинет вошли лишь такие министры, которые в равной степени заботятся о величине налоговых сборов Правительства и величине совокупного располагаемого дохода населения (то есть ВВП Свободной, Но Пока Небогатой Республики за вычетом налогов, Y-Tx ). Соответственно, выбирая значение ставки, новые министры руководствуются предпочтениями, которые можно описать функцией полезности u(Tx, Y-Tx)=ln(Tx)+ln(Y-Tx), где ln – натуральный логарифм.
(a) Какое значение ставки \tau_1^* было выбрано предыдущим кабинетом министров?
(b) Какую ставку \tau_2^* выберут новые министры?
(c) Как и на сколько процентов изменятся налоговые сборы Правительства и совокупный располагаемый доход населения вследствие обновления кабинета?
(a) Известно, что функция Y(\tau) линейная, Y(0)=Y_{max} и Y(1)=0, следовательно функция ВВП имеет вид Y(\tau)=Y_{max}(1-\tau).
Y – это и ВВП экономики, и совокупный доход населения Республики. Поэтому, исходя из данного определения эффективной ставки налогообложения, выводим функцию налоговых сборов Tx(\tau) :
\tau \equiv \frac{Tx}{Y} \implies T x(\tau) = \tau \cdot Y(\tau) \implies T x(\tau) = \tau \cdot Y_{\text{max}} (1 - \tau) \implies T x(\tau) = Y_{\text{max}} (\tau - \tau^2)
Максимизируем налоговые сборы по эффективной ставке налогообложения:
T x(\tau) \rightarrow \max_{0 \leq \tau \leq 1} \quad \implies \quad T x'(\tau) = Y_{\text{max}}(1 - 2\tau) \quad \implies \quad Y_{\text{max}}(1 - 2\tau_1^*) = 0 \quad \implies \quad \tau_1^* = \frac{1}{2}
Ответ. Предыдущий кабинет установил ставку на уровне 50\%.
(b) Подставляем полученную функцию налоговых сборов Tx(\tau)=Y_{max}(\tau-\tau^2) и функцию ВВП
Y(\tau)=Y_{max}(1-\tau) в функцию полезности u(Tx, Y-Tx)=ln(Tx)+ln(Y-Tx) и получаем:
u(\tau) = \ln\left[Y_{\text{max}}(\tau - \tau^2)\right] + \ln\left[Y_{\text{max}}(1 - \tau) - Y_{\text{max}}(\tau - \tau^2)\right]
Преобразуем:
u(\tau) = \ln\left[Y_{\text{max}}(\tau - \tau^2)\right] + \ln\left[Y_{\text{max}}(1 - 2\tau + \tau^2)\right]
u(\tau) = \ln\left[Y_{\text{max}}(\tau - \tau^2)\right] + \ln\left[Y_{\text{max}}(1 - \tau)^2\right]
u(\tau) = 2\ln\left[Y_{\text{max}}\right] + \ln\left[\tau - \tau^2\right] + 2\ln\left[1 - \tau\right]
Максимизируем функцию полезности по эффективной ставке налогообложения:
u(\tau) \rightarrow \max_{0 \leq \tau \leq 1}
u'(\tau) = 0 + \frac{1 - 2\tau}{\tau - \tau^2} + \frac{-2}{1 - \tau} \implies \frac{1 - 2\tau^*}{\tau_2^* - (\tau_2^*)^2} + \frac{-2}{1 - \tau_2^*} = 0 \implies \tau_2^* = \frac{1}{4}
Ответ. Новые министры выберут эффективную ставку налогообложения 25\%.
(c) При предыдущем кабинете было:
T(\tau_1^*) = T\left(\frac{1}{2}\right) = Y_{\text{max}}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} Y_{\text{max}}
Y(\tau_1^*) - T(\tau_1^*) = Y\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4}Y_{\text{max}} = Y_{\text{max}}\left(1 - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4}Y_{\text{max}} = \frac{1}{4}Y_{\text{max}}
При новым кабинете стало:
T(\tau_2^*) = T\left(\frac{1}{4}\right) = Y_{\text{max}}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}\right) = \frac{3}{16} Y_{\text{max}}
Y(\tau_2^*) - T(\tau_2^*) = Y\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{3}{16}Y_{\text{max}} = Y_{\text{max}}\left(1 - \frac{1}{4}\right) - \frac{3}{16}Y_{\text{max}} = \frac{9}{16}Y_{\text{max}}
Следовательно,
\frac{T(\tau_2^*)}{T(\tau_1^*)} = \left(\frac{\frac{3}{16} Y_{\text{max}}}{\frac{1}{4} Y_{\text{max}}}\right) = \frac{3}{4} = 75\% = 100\% + (-25\%)
и
\frac{Y(\tau_2^*) - T(\tau_2^*)}{Y(\tau_1^*) - T(\tau_1^*)} = \left(\frac{\frac{9}{16} Y_{\text{max}}}{\frac{1}{4} Y_{\text{max}}}\right) = \frac{9}{4} = 225\% = 100\% + 125\%
Ответы. В результате обновления кабинета министров налоговые сборы сократятся на 25\%, а располагаемый доход населения вырастет на 125\%.