(a) Известно, что функция Y(\tau) линейная, Y(0)=Y_{max} и Y(1)=0, следовательно функция ВВП имеет вид Y(\tau)=Y_{max}(1-\tau).

Y – это и ВВП экономики, и совокупный доход населения Республики. Поэтому, исходя из данного определения эффективной ставки налогообложения, выводим функцию налоговых сборов Tx(\tau) :

\tau \equiv \frac{Tx}{Y} \implies T x(\tau) = \tau \cdot Y(\tau) \implies T x(\tau) = \tau \cdot Y_{\text{max}} (1 - \tau) \implies T x(\tau) = Y_{\text{max}} (\tau - \tau^2)

Максимизируем налоговые сборы по эффективной ставке налогообложения:

T x(\tau) \rightarrow \max_{0 \leq \tau \leq 1} \quad \implies \quad T x'(\tau) = Y_{\text{max}}(1 - 2\tau) \quad \implies \quad Y_{\text{max}}(1 - 2\tau_1^*) = 0 \quad \implies \quad \tau_1^* = \frac{1}{2}

Ответ. Предыдущий кабинет установил ставку на уровне 50\%.

(b) Подставляем полученную функцию налоговых сборов Tx(\tau)=Y_{max}(\tau-\tau^2) и функцию ВВП

Y(\tau)=Y_{max}(1-\tau) в функцию полезности u(Tx, Y-Tx)=ln(Tx)+ln(Y-Tx) и получаем:

u(\tau) = \ln\left[Y_{\text{max}}(\tau - \tau^2)\right] + \ln\left[Y_{\text{max}}(1 - \tau) - Y_{\text{max}}(\tau - \tau^2)\right]

Преобразуем:

u(\tau) = \ln\left[Y_{\text{max}}(\tau - \tau^2)\right] + \ln\left[Y_{\text{max}}(1 - 2\tau + \tau^2)\right]

u(\tau) = \ln\left[Y_{\text{max}}(\tau - \tau^2)\right] + \ln\left[Y_{\text{max}}(1 - \tau)^2\right]

u(\tau) = 2\ln\left[Y_{\text{max}}\right] + \ln\left[\tau - \tau^2\right] + 2\ln\left[1 - \tau\right]

Максимизируем функцию полезности по эффективной ставке налогообложения:

u(\tau) \rightarrow \max_{0 \leq \tau \leq 1}

u'(\tau) = 0 + \frac{1 - 2\tau}{\tau - \tau^2} + \frac{-2}{1 - \tau} \implies \frac{1 - 2\tau^*}{\tau_2^* - (\tau_2^*)^2} + \frac{-2}{1 - \tau_2^*} = 0 \implies \tau_2^* = \frac{1}{4}

Ответ. Новые министры выберут эффективную ставку налогообложения 25\%.

(c) При предыдущем кабинете было:

T(\tau_1^*) = T\left(\frac{1}{2}\right) = Y_{\text{max}}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} Y_{\text{max}}

Y(\tau_1^*) - T(\tau_1^*) = Y\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4}Y_{\text{max}} = Y_{\text{max}}\left(1 - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4}Y_{\text{max}} = \frac{1}{4}Y_{\text{max}}

При новым кабинете стало:

T(\tau_2^*) = T\left(\frac{1}{4}\right) = Y_{\text{max}}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}\right) = \frac{3}{16} Y_{\text{max}}

Y(\tau_2^*) - T(\tau_2^*) = Y\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{3}{16}Y_{\text{max}} = Y_{\text{max}}\left(1 - \frac{1}{4}\right) - \frac{3}{16}Y_{\text{max}} = \frac{9}{16}Y_{\text{max}}

Следовательно,

\frac{T(\tau_2^*)}{T(\tau_1^*)} = \left(\frac{\frac{3}{16} Y_{\text{max}}}{\frac{1}{4} Y_{\text{max}}}\right) = \frac{3}{4} = 75\% = 100\% + (-25\%)

и

\frac{Y(\tau_2^*) - T(\tau_2^*)}{Y(\tau_1^*) - T(\tau_1^*)} = \left(\frac{\frac{9}{16} Y_{\text{max}}}{\frac{1}{4} Y_{\text{max}}}\right) = \frac{9}{4} = 225\% = 100\% + 125\%

Ответы. В результате обновления кабинета министров налоговые сборы сократятся на 25\%, а располагаемый доход населения вырастет на 125\%.