Преобразуем второй кусок функции:

\sqrt{-4Q^2 + 48Q - 128} - 3 \\ \sqrt{16 - (2(Q - 6))^2} - 3

Это верхняя половинка овала, а именно окружности, сплющенной по оси икс в два раза. Нарисуем:

На рисунке ошибка: вместо MC должно быть MP_r

Очевидно, что оптимальными точками являются либо A, либо C. Выбрав объем производства A, мы получим некую положительную прибыль. Нарастив прибыль до C, мы потеряем a и получим b. Рассмотрим прямоугольники m и n. m полностью лежит в a, b полностью лежит в n. Это значит, что a>m и n>b. Поскольку m=n, то a>b, что означает, что нарастив производства до C, мы потеряем больше, чем выиграем. Значит оптимум в точке A. Найти его можно, приравняв уравнение первого куска к нулю и выбрав меньший корень.

Ответ:

4-2\sqrt 3