Королевство зерна: план против рынка
В некотором королевстве производится лишь один товар – зерно – с использованием двух факторов производства: труда и земли. В этом королевстве имеется 100 наделов земли типа А и 100 наделов земли типа В. Урожай (за период) для каждого типа надела зависит от количества работающих на данном наделе и представлен в следующей таблице:
В королевстве имеется 450 работников.
(а) Пусть в данном королевстве имеет место централизованное управление. Распределите 450 работников по данным наделам таким образом, чтобы совокупный урожай был максимально возможным. Объясните принцип, которым вы руководствовались при распределении.
(б) Предположим, что соседнее королевство имеет излишки земли и предлагает вашему королевству взять один надел типа А в аренду на один период. При этом просит заплатить арендную плату зерном. Найдите максимальную величину арендной платы, при которой ваше королевство согласится на данную сделку.
(в) Пусть в королевстве произошла реформа и все наделы приватизированы. Теперь в экономике есть 200 землевладельцев, каждый из которых владеет одним наделом. В экономике также имеется 450 работников, каждый из которых готов работать при любой ставке заработной платы (зарплата платится зерном). Найдите ставку заработной платы, если на рынке труда имеет место совершенная конкуренция, т. е. и землевладельцы и работники воспринимают ставку заработной платы как данную, полагая, что их решения (работника – работать или нет и землевладельца – сколько работников нанимать) не способны повлиять на эту ставку.
(г) Пусть все работники объединились в профсоюз, который определяет ставку заработной платы. Цель профсоюза – максимизировать совокупный доход работников. Какую ставку заработной платы установит профсоюз?
(а) Найдем для каждого надела предельный продукт труда, т.е. увеличение урожая при найме дополнительного работника:
Как видим, предельный продукт труда убывает на каждом из полей, поэтому при распределении работников следует использовать следующий принцип: работник распределяется на тот надел, где он создает наибольший дополнительный (т.е. предельный) продукт.
В результате первые 100 работников будут распределены по 100 наделам типа А (по одному работнику на каждый из 100 наделов), поскольку в этом случае мы получим с каждого работника максимальный прирост урожая, равный 700. Следующие 100 работников также будут направлены на наделы типа А, так как в этом случае каждый создаст максимально возможный дополнительный урожай в 500 единиц. Следующие 100 работников будут использованы на наделах типа В и каждый создаст 450 единиц продукции. Следующие 100 работников будут направлены на наделы типа А и каждый увеличит урожай на 400 единиц. Наконец, последние 50 работников будут использованы на наделах типа В и каждый создаст 300 единиц продукции.
Таким образом, на каждом наделе А будут трудиться по 3 работника, на 50 наделах В будут работать по 2 работника и на 50 наделах В - по одному работнику.
(б) Взяв в аренду у соседнего королевства один надел земли типа А, мы бы перераспределили 450 работников следующим образом:
101-А, 101-А, 100-В, 101-А, 47-В.
В результате урожай увеличился бы на 700+500+400-3 \cdot 300 = 700. Таким образом, сделка будет выгодна нашему королевству, если арендная плата не превысит 700 единиц.
(в) В условиях совершенной конкуренции величина спроса на труд должна быть равна величине предложения труда. По условию задачи предложение труда при любой ставке заработной платы равно 450.
Спрос на труд определяется предельным продуктом труда. Заметим, что дополнительный продукт труда каждого работника не возрастает при росте числа занятых. Если при заданной занятости оплата труда работника меньше, чем дополнительный урожай, который он приносит, то землевладелец заинтересован в найме дополнительного работника. В обратном случае следует сократить наём. Таким образом, при данной ставке заработной платы прибыль землевладельца будет максимальной, если предельный продукт труда будет равен этой ставке.
Найдём спрос на труд. При ставке зарплаты выше 700 единиц зерна работники никому не нужны. При ставке 700 владельцы наделов типа B не захотят никого нанять, а каждый из сотни владельцев надела типа А может нанять одного работника, а может не нанять ни одного - ему безразлично. Поэтому "величина спроса" на труд при ставке 700 - множество целых чисел от 0 до 100 (каждое из них может реализоваться, если равное ему число владельцев надела выберут наём одного работника, а остальные выберут наём нуля работников).
При ставке из интервала (500;700) владельцы типа B по-прежнему отдыхают (они проснутся при ставке 450), а все сто владельцев наделов типа А строго предпочитают наём одного работника любому другому количеству, поэтому спрос на этом интервале равен 100.
При ставке 500, а владельцы типа А хотят нанять одного работника точно, а второго - могут нанять, а могут и не нанять; им без разницы. Поэтому "величина спроса" при ставке 500 - множество целых чисел от 100 до 200.
И т. д. и т. п.
Таким образом, величина спроса на труд равна величине предложения при ставке заработной платы, равной 300.
Заметим, что этот ответ некорректно получать, рассчитывая предельный продукт труда последнего нанятого работника (450-го), следуя оптимальному распределению работников, найденному в пункте (а), поскольку здесь речь идет о равновесии, а не об оптимальном централизованном распределении и мы не доказали, что равновесное распределение ресурсов в этой экономике обязано быть оптимальным.
(г) Поскольку профсоюз заинтересован в максимизации совокупной оплаты труда работников, то следует принимать во внимание, что занятость при данной ставке заработной платы будет определять землевладелец в соответствии со спросом на труд, полученным в предыдущем пункте.
Найдем, как при этом будет меняться совокупная оплата труда. Заметим, что имеет смысл рассматривать лишь границы интервалов, так как, если землевладелец готов нанять некое количество работников при заработной плате на отрезке [a;b], то максимальный фонд оплаты труда соответствует наибольшей ставке заработной платы из этого отрезка.
Таким образом, профсоюзу нет смысла снижать зарплату ниже 400 единиц, поскольку результирующий рост занятости не компенсирует потери от снижения ставки оплаты труда. Итак, профсоюз назначит зарплату одного работника в размере 400 единиц урожая.