Дороги, которые выбирают чемпионы

В королевстве Мурляндия есть всего города , в каждом из которых проживает одинаковое количество человек. Если последовательно соединить эти города дорогами (которые пока что не построили), то схема страны будет напоминать форму выпуклого четырехугольника (см. рисунок ).

Король Мурляндии собирается построить завод, с которого ежедневно будут развозить ценный витамин, предназначенный для каждого жителя страны (после рейса все машины, развозящие витамин, должны возвращаться на завод). Король Мурляндии Мурмур XXVII точно понимает, что завод нужно разместить в какой-то точке на плоскости, ограниченной сторонами четырехугольника (возможно, в каком- то из городов, возможно – на стороне четырехугольника, а, возможно, где-то в другом месте).

Завод необходимо соединить дорогами с каждым из городов, при этом экономный Король очень хочет, чтобы сумма длин дорог (то есть сумма расстояний от завода до городов) была минимальной. Советники Мурмура XXVII отчаялись: они никак не могут выбрать место для строительства завода и уже готовятся принять королевскую кару. Неожиданно на помощь советникам пришел победитель Всероссийской олимпиады школьников по экономике великолепный Михаил Т., находившийся в Мурляндии проездом.

Узнав пожелания короля и взглянув на рисунок, Михаил не только смог правильно определить, где следует построить завод, но и доказал, почему нужно поступить именно так. Когда советники шепотом спросили Михаила, как ему это удалось, он рассказал, что внимательно изучил схему страны и вспомнил, что узнал на уроках геометрии в 7 классе.

Последуйте примеру Михаила Т., определив, где следует построить завод, и доказав, что это место – лучшее (будьте внимательны: такое место может быть одно, но их может быть и несколько).