Как Серёже накопить на путешествие?

Справочно (знания термина не требовалось для решения задачи).

Арбитраж – несколько последовательных сделок, направленных на извлечение прибыли из-за разницы в ценах.

Валютный арбитраж – покупка и продажа валют с последующим совершением обратной сделки (в том числе через другие валюты) с целью получения прибыли за счет разницы в валютных курсах.

Обозначение курсов валют с единицами измерения (не требуется для решения, но может облегчить перевод из одной валюты в другую):

Для облегчения понимания при решении задачи каждую валюту мы будем обозначать заглавной буквой её названия (А, \ Б, \ Г).

Рассмотрим, может ли Серёжа заработать на валютном арбитраже в 2025 году. Для этого будем рассматривать сумму x каждой валюты и определять, сколько денег в исходной валюте будет после цепочки обменов.

1) Проверим очевидные цепочки:

\text{A--B--A:}\qquad x \mapsto \frac{x}{13} \mapsto \frac{12x}{13} < x

\text{A--Г--A:}\qquad x \mapsto \frac{x}{25} \mapsto \frac{24x}{25} < x

\text{Г--Б--Г:}\qquad x \mapsto \frac{x}{0.52} \mapsto \frac{0.5x}{0.52} < x

\text{Б--Г--Б:}\qquad x \mapsto 0.5x \mapsto \frac{0.5x}{0.52} < x

Вывод: арбитраж данным способом невозможен.

5 баллов: 1 балл за каждую цепочку и 1 балл за вывод

Если явно обоснованно указать, что во всех четырёх случаях «ДА-Банк» покупает любую валюту дешевле, чем продаёт ее, поэтому заработать не удаётся, также выставляется 5 баллов.

2) Рассмотрим, удастся ли арбитраж через другую валюту:

\text{Б--Г--A--Б:}\qquad x \mapsto 0.5x \mapsto 24\cdot 0.5x \mapsto \frac{24\cdot 0.5x}{13}=\frac{12x}{13}<x

\text{Б--A--Г--Б:}\qquad x \mapsto 0.5x \mapsto 24\cdot 0.5x \mapsto \frac{24\cdot 0.5x}{13}=\frac{12x}{13}<x

\text{Г--Б--А--Г:}\qquad x \mapsto \frac{x}{0.52} \mapsto \frac{12x}{0.52} \mapsto \frac{12\cdot 100x}{0.52\cdot 25} = \frac{48x}{52}<x

\text{Г--А--Б--Г:}\qquad x \mapsto 24x \mapsto \frac{24x}{13} \mapsto \frac{24\cdot 0.5x}{13}=\frac{12x}{13}<x

\text{A--Б--Г--A:}\qquad x \mapsto \frac{x}{13} \mapsto \frac{0.5x}{13} \mapsto \frac{24\cdot 0.5x}{13}=\frac{12x}{13}<x

\text{A--Г--Б--A:}\qquad x \mapsto \frac{x}{25} \mapsto \frac{x}{25\cdot 0.52} \mapsto \frac{12x}{25\cdot 0.52} = \frac{12\cdot 100x}{25\cdot 52}=\frac{48x}{52}<x

Вывод: арбитраж в 2025 году невозможен

15 баллов: по 2 балла за каждую цепочку и 3 балла за вывод

3) Если в 2026 существует возможность заработать на разнице курсов валют и, следовательно, получить бесконечно большую сумму за счёт валютного арбитража, необходимо сначала рассмотреть такую возможность ( 34 балла):

Через два обмена одной валюты

\text{А--Б--А:}\qquad x \mapsto \frac{x}{13} \mapsto \frac{11{,}5\,x}{12} \;=\;\frac{11{,}5x}{12}\;<\;x

\text{А--Г--А:}\qquad x \mapsto \frac{x}{25{,}5} \mapsto \frac{25x}{25{,}5} \;=\;\frac{25x}{25{,}5}\;<\;x

\text{Г--Б--Г:}\qquad x \mapsto \frac{x}{0{,}45} \mapsto \frac{0{,}4x}{0{,}45} \;=\;\frac{0{,}4x}{0{,}45}\;<\;x

\text{Б--Г--Б:}\qquad x \mapsto 0{,}4x \mapsto \frac{0{,}4x}{0{,}45} \;=\;\frac{0{,}4x}{0{,}45}\;<\;x

4 балла: 1 балл за каждую цепочку

4) Через третью валюту. В данном случае финальным обменом по условию должен быть обмен на Альфики.

Если перевод осуществляется из Гамиков или Бетиков, необходимо сравнить результаты цепочки и результат однократного обмена на Альфики:

\text{Б--Г--А:}\qquad x \mapsto 0.4x \mapsto 25.5\cdot 0.4x = \frac{102x}{10}=10.2x < 11.5x

\text{Г--Б--А:}\qquad x \mapsto \frac{x}{0.45} \mapsto \frac{11.5x}{0.45} = \frac{1150x}{45}=\frac{230x}{9} > 25x

Вывод: Гамики выгоднее переводить в Альфики через Бетики, это позволит получить в итоге больше Альфиков больше, чем прямой обмен

8 баллов: по 2 балла за анализ каждой цепочки, 4 балла за вывод)

5) Тогда рассмотрим схожую цепочку обмена, которая начинается с Альфиков и посмотрим, можно ли на этом заработать:

\text{A--Г--Б--A:}\quad x \mapsto \frac{x}{25.5} \mapsto \frac{x}{25.5\cdot 0.45} \mapsto \frac{11.5\,x}{25.5\cdot 0.45} = \frac{115\cdot 100\,x}{255\cdot 45} = \frac{23\cdot 20\,x}{51\cdot 9} = \frac{460x}{51\cdot 9} = \frac{460x}{459} > x

Вывод: имея любую сумму в Альфиках, можно в итоге получить большую сумму в Альфиках

8 баллов: 2 балла за анализ цепочки, баллов за вывод

6) Имея изначально сумму в Бетиках, можно перевести её в Альфики и зарабатывать: \text{Б--A--Г--Б --А:}\quad x \mapsto 11.5\,x \mapsto \frac{11.5\,x}{25.5} \mapsto \frac{11.5\,x}{25.5\cdot 0.45} = \frac{115\cdot 100\,x}{255\cdot 45} = \frac{460x}{459} > 11.5\,x

10 баллов: 2 балла за анализ цепочки, 8 баллов за вывод

7) Имея изначально сумму в Гамиках, можно перевести ее в Альфики (через Бетики) и зарабатывать (схема Г – Б – А – Г – Б – М )

4 балла за вывод

Общий вывод: из-за возможностей арбитража сумма, которую может заработать Серёжа, может быть бесконечно большой.

8) Размер процентной ставки не имеет значения, так как мы показали, что при любом доходе от депозита можно заработать в 2026 году на разнице в валютных курсах

4 балла за указание