Про четыре целых числа a, b, c, d известно, что a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на 1. (А. Доледенок) В эстафетном забеге Москва -- Петушки участвовали две команды по 20 человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на 20 не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных уч Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский) На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3 На плоскости даны две окружности ω1 и ω2, касающиеся внешним образом. На окружности ω1 выбран диаметр AB, а на окружности ω2 выбран диаметр CD. Рассмотрим всевозможные положения точек A, B, C и D, при которых ABCD -- выпуклый описанный четырёхугольник, и п На острове живут хамелеоны 5 цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется на один из этих 5 цветов по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что 2023 красных хамелеона могут договориться о последователь 
