(15 баллов) Можно ли число 2024 представить в виде a3 + b2, где a и b — натуральные числа? (15 баллов) Сколько существует таких приведённых квадратных трёхчленов f(x) = x2 + px + q с целыми коэффициентами, что f(f(1000)) = 0? (15 баллов) В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, точки E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окружность в точке T ne I. Докажите, что ортоцентр треугольника AEF равноудалён от точек T и I. (15 баллов) Многие учащиеся математического кружка остаются в нём преподавать после выпуска. Будем говорить, что Ваня является последователем Саши, если Ваня учился у Саши или если Ваня учился у ученика Саши, ученика ученика Саши и так далее. Преподаватель кружка называется народным, если у него ест (20 баллов) Окружность ω описана около треугольника ABC. Биссектриса AL пересекает ω в точке S ne A. Докажите, что длина проекции отрезка AS на прямую AB больше длины отрезка AL. (20 баллов) По кругу расставлены натуральные числа. Петя поделил каждое из них на натуральное число, ближайшее к среднему геометрическому соседних чисел. Оказалось, что все полученные числа — натуральные. Чему может быть равно наибольшее из них? (15 баллов) Можно ли число 2024 представить в виде a3 + b2, где a и b — натуральные числа? (20 баллов) Окружность ω описана около треугольника ABC. Биссектриса AL пересекает ω в точке S ne A. Докажите, что длина проекции отрезка AS на прямую AB больше длины отрезка AL. (20 баллов) По кругу расставлены натуральные числа. Петя поделил каждое из них на натуральное число, ближайшее к среднему геометрическому соседних чисел. Оказалось, что все полученные числа — натуральные. Чему может быть равно наибольшее из них? (15 баллов) В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, точки E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окружность в точке T ne I. Докажите, что ортоцентр треугольника AEF равноудалён от точек T и I. (15 баллов) Сколько существует таких приведённых квадратных трёхчленов f(x) = x2 + px + q с целыми коэффициентами, что f(f(1000)) = 0? (15 баллов) Многие учащиеся математического кружка остаются в нём преподавать после выпуска. Будем говорить, что Ваня является последователем Саши, если Ваня учился у Саши или если Ваня учился у ученика Саши, ученика ученика Саши и так далее. Преподаватель кружка называется народным, если у него ест 
