(20 баллов) Назовём главными делителями составного числа n два наибольших его натуральных делителя, отличных от n. Составные натуральные числа a и b таковы, что главные делители числа a совпадают с главными делителями числа b. Докажите, что a=b. (А.С. Голованов) (20 баллов) Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, внешние биссектрисы его углов B и C пересекаются в точке J. Окружность ωb с центром в точке Ob проходит через точку B и касается прямой CI в точке I. Окружность ωc с центром в точке Oc проход (20 баллов) В строку выписаны 200 натуральных чисел. Среди любых двух соседних чисел строки правое либо в 9 раз больше левого, либо в 2 раза меньше левого. Может ли сумма всех этих 200 чисел равняться 242022? (О. Подлипский, И. Богданов) (20 баллов) В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт (20 баллов) Дана бесконечная последовательность чисел a1,a2,ldots, в которой нет двух равных членов. Отрезок ai,ai+1,ldots,ai+m-1 этой последовательности назовём монотонным отрезком длины m, если выполнены неравенства aii+1i+m-1 (20 баллов) Для какого наименьшего натурального числа a существуют целые числа b и c такие, что квадратный трёхчлен ax2+bx+c имеет два различных положительных корня, не превосходящих frac1{1000}? (А. Храбров) (20 баллов) В стране 998 городов. Некоторые пары городов соединены двусторонними авиарейсами. Согласно закону, между любой парой городов должно быть не больше одного рейса. Другой закон требует, чтобы для любой группы городов было не больше 5k+10 рейсов, соединяющих два города этой группы, где k — к (20 баллов) В треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся стороны BC в точке K. Окружность ω' симметрична окружности ω относительно точки A. Точка A0 выбрана так, что отрезки BA0 и CA0 касаются ω'. Пусть M — середина стороны BC. Докажите, что прямая AM делит отр 
