(20 баллов) Число x таково, что sin x+operatorname{tg} x и cos x+operatorname{ctg} x - рациональные числа. Докажите, что sin 2x является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. (Н. Агаханов) (20 баллов) У 100 школьников есть стопка из 101 карточки, которые пронумерованы числами от 0 до 100. Первый школьник перемешивает стопку, затем берёт сверху из получившейся стопки по одной карточке, и при каждом взятии карточки (в том числе при первом) записывает на доску среднее арифметическое чисе (20 баллов) В каждой строке таблицы 100 × n в некотором порядке стоят числа от 1 до 100, числа в строке не повторяются (в таблице n строк и 100 столбцов). Разрешается поменять местами в строке два числа, отличающиеся на 1, если они не стоят рядом. Оказалось, что с помощью таких операций нельзя получ (20 баллов) Окружность ω описана около треугольника ABC, в котором ABb, а прямые MH, CI и AC ограничивают треугольник Tc. Описанные окружности треугольников Tb и Tc повторно пересекают окружность ω в точках B' и C' соответственно. Докажите, что точка H лежит на (20 баллов) Изначально на доске написано 10 единиц. Гриша и Глеб играют в игру, делая ходы по очереди. Своим ходом Гриша возводит некоторые 5 чисел на доске в квадрат. Глеб своим ходом выбирает несколько (возможно, ни одного) чисел на доске и увеличивает каждое из них на 1. Если в течение 10000 ходо (20 баллов) Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD в точках X, Y, Z и T соответственно. Оказалось, что точки Y и T лежат на окружности ω, построенной на отрезке XZ как на диаметре. Точка P отмечена в плоскости α так, что прямые PY и PT касаются окружности ω. Докажите, что середи (20 баллов) Назовём многочлен P(x) бицелозначным, если числа P(k) и P'(k) целые при любом целом k. Пусть P(x) - бицелозначный многочлен степени d, и пусть Nd - произведение всех составных чисел, не превосходящих d (произведение пустого множества сомножителей считаем равным 1). Докажите, ч (20 баллов) В стране N городов. В ней действует N(N-1) дорог с односторонним движением: по одной дороге из X в Y для каждой упорядоченной пары городов Xne Y. У каждой дороги есть цена её обслуживания. Для данного k=1,ldots,N рассмотрим все способы выделить k городов и N-k дорог так, чтобы из каждого 
