В пространстве расположен бесконечный цилиндр (т.е. геометрическое место точек, удалённых от данной прямой ell на данное расстояние R>0). Могут ли шесть прямых, содержащих рёбра некоторого тетраэдра, иметь ровно по одной общей точке с этим цилиндром? (А. Кузнецов) Тройку положительных чисел (a,b,c) назовём загадочной, если √(a2+frac1{a2c2)+2ab}+√(b2+frac1{b2a2)+2bc}+√(c2+frac1{c2b2)+2ca}=2(a+b+c). Докажите, что если тройка (a,b,c) - загадочная, то тройка (c,b,a) Юрий подошёл к великой таблице майя. В таблице 200 столбцов и 2200 строк. Юрий знает, что в каждой клетке таблицы изображено солнце или луна, и любые две строки отличаются (хотя бы в одном столбце). Каждая клетка таблицы закрыта листом. Поднялся ветер и сдул некоторые листы: по два листа Четырёхугольник ABCD, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность ω. Через вершину A проведена прямая ellaparallel BC, через вершину B - прямая ellbparallel CD, через вершину C - прямая ellcparallel DA, через вершину D - прямая elldparallel AB. Квартал представляет собой клетчатый квадрат 10 × 10. В новогоднюю ночь внезапно впервые пошёл снег, и с тех пор каждую ночь на каждую клетку выпадало ровно по 10 см снега; снег падал только по ночам. Каждое утро дворник выбирает один ряд (строку или столбец) и сгребает весь снег оттуда на один из с Остроугольный неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром в точке O, его высоты пересекаются в точке H. Через точку O проведена прямая, перпендикулярная AH, а через точку H - прямая, перпендикулярная AO. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами AB и AC лежат на о В стране n>100 городов и пока нет дорог. Правительство наугад определяет стоимость строительства дороги (с двусторонним движением) между каждыми двумя городами, используя по разу все суммы от 1 до n(n-1)/2 талеров (все варианты равновероятны). Мэр каждого города выбирает самую дешёвую из n-1 возможн Докажите, что существует такое c>0, что для любого нечётного простого p=2k+1 числа 10, 21, 32, ldots, kk-1 дают хотя бы csqrt p различных остатков при делении на p. (М. Туревский, И. Богданов) 
