Оригинальные задания олимпиады «Всероссийская олимпиада школьников» для 11 класса за 2023/24 учебный год. В выбранном комплекте: 8 задач и 2 файла для подготовки.
(4 баллов) Дана правильная десятиугольная призма A1A2ldots A10B1B2ldots B10. Некоторая плоскость α пересекает n её рёбер, не проходя ни через одну из точек A1,ldots,A10,B1,ldots,B10. (а) (1
(4 баллов) Назовём хорошей пару (a,b) натуральных чисел, лежащих на отрезке [100;240], если число sqrt a+sqrt b является целым. Сколько существует хороших пар?
(4 баллов) На урок физкультуры пришли девочки и мальчики. У учителя было 47 волейбольных мячей. Сначала он выдал каждой девочке по одному мячу, а все оставшиеся мячи поделил поровну между мальчиками (при этом каждый ребёнок получил хотя бы один мяч). Затем учитель поделил всех мальчиков на группы, о
(4 баллов) Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток. Пару натуральных чисел (m,n) назовём подходящей, если существует разнообразная табли
(4 баллов) В окружность ω вписана трапеция ABCD такая, что BCparallel AD, AD=14 и BC=9. Пусть M — середина дуги AD окружности ω, не содержащей точек B и C. Прямая ell касается ω в точке C. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из M на ell. Найдите длину отрезка CH.
(4 баллов) Многочлен P(x) с действительными коэффициентами, отличный от константы, таков, что для всех действительных x верно P(x2)=x(1+x2)P(x). (а) (1 балл) Найдите P(-1). (б) (3 балла) Найдите (P(5)/P(2)).
(4 баллов) Есть поле, разделённое на две половины: левую и правую. Изначально на левой лежит a камней, а на правой — b камней. Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра. Игрок в свой ход должен переложить с одной половины поля на другую один или несколько камней, при
