Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 1

Пару взаимно простых натуральных чисел и назовём забавной, если . Найдите количество забавных пар чисел таких, что .

Ответ

Ответ. .

Решение. Разность может быть равна , , или .

Если разность равна , то и всегда взаимно просты, и подходящих пар .

Если разность равна , то и взаимно просты, если и нечётны, и подходящих пар .

Если разность равна , то и взаимно просты, если и не делятся на , и подходящих пар .

Если разность равна , то и взаимно просты, если и нечётны, и подходящих пар .

Всего пар будет .

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 4

Вера написала на доске восьмизначное число. Надя переставила две первые его цифры в конец и написала полученное восьмизначное число на доске (Например, если Вера написала 12,345,678, то Надя написала 34,567,812.) Из числа, написанного Верой, Люба вычла число, написанное Надей. Какие числа из отрезка

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 6

В окружность вписан правильный 24000-угольник A₁A₂ldots A₂₄₀₀₀. Вася начинает движение из точки A₁ и обходит окружность в направлении увеличения номеров вершин несколько раз. В процессе обхода он вычёркивает эти вершины: во время первого обхода вычёркивают

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 5

Найдите все положительные числа x такие, что оба числа x+dfrac1x и x²-4x являются целыми. В ответ запишите наибольшее из них, вычисленное с точностью до двух знаков после запятой.

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 10

Вова задумал многочлен Q(x) с целыми коэффициентами. Оказалось, что Q(11)=Q(25)=450. Какое наименьшее значение может принимать его свободный член c, если |c|<150?

Средняя

Теория чисел