Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 5
Найдите все положительные числа такие, что оба числа и являются целыми. В ответ запишите наибольшее из них, вычисленное с точностью до двух знаков после запятой.
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть , , где и — целые числа. Тогда и . Вычитая из одного уравнения другое, получаем, что .
Если , то из этого равенства следует, что — рациональное число, т. е. , где и — взаимно простые натуральные числа. Но для натуральных взаимно простых и сумма
может быть целым числом тогда и только тогда, когда , т. е. .
Если же , то , и тогда . Наибольшее из этих чисел с точностью до двух знаков после запятой равно .