Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 4
Натуральное число имеет различных натуральных делителей (включая единицу и само число ), а количество различных натуральных делителей числа (включая единицу и само число ) равно . Определите минимально возможное значение .
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть разложение числа на простые множители имеет вид
Тогда количество его делителей составляет
После домножения на получаем число
количество делителей которого равно
Разделив одно равенство на другое, получаем , поэтому . Отсюда следует, что
Так как в правой части равенства три простых множителя, количество множителей в его левой части не превосходит трёх. Несложно видеть, что минимальное значение исходного числа получается при , , , , , . Это значение равно .