Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 3
На доске написано число . Петя заменил в нём цифр: последние цифры и ещё какую-то. В итоге получилось восьмизначное число, делящееся на , притом минимально возможное. Что это за число?
Ответ
Ответ. .
Решение. Чтобы получить минимально возможное число, надо заменить первую цифру на (если этого не сделать, любое другое число будет не менее ). Значит, число имеет вид , где звёздочки заменяют неизвестные цифры.
Число делится на тогда и только тогда, когда оно делится на и на . Признак делимости на — число, образованное последними четырьмя цифрами, делится на . Чтобы получить наименьший результат, рассматриваем минимальные числа, делящиеся на . Варианты и не подходят, так как итоговое число не делится на . А — подходит. Итак, искомое число — это .