Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 8
Найдите количество всех пар натуральных чисел , , при которых является верным равенство
Ответ
Ответ. .
Решение. Заметим, что число должно делиться на . Также заметим, что если , то
а если , то
Поэтому если для натурального выражение делится на , то найдётся такое натуральное , что требуемое равенство будет верным.
Выражение делится на , а выражение делится на только в том случае, когда имеет остаток или при делении на . Таким образом, нам подходят такие натуральные , которые делятся на и имеют остаток или при делении на . То есть это числа вида и . Таких чисел от до будет ровно , и для каждого из них найдётся ровно одно натуральное .