Всесиб 2025, отборочный этап, 10 класс, задача 1
( баллов) Расставить в каждой клетке таблицы на по одному натуральному числу от до так, чтобы сумма чисел в любой паре соседних по стороне клеток была составным числом. Все девять чисел должны быть использованы.
Ответ
Ответ. Слева направо — первая строка: , вторая строка: , третья строка: . Нумерация строк снизу вверх.
Решение. Заметим, что сумма двух различных натуральных чисел одной чётности является чётным числом, большим двух, следовательно — составным числом. Поэтому, если разместить нечётные числа в первом столбце и первой строке, а чётные — в остальных клетках, образующих квадрат на в правом верхнем углу таблицы, то нужно следить только за суммами в парах соседних клеток, содержащих чётное и нечётное числа. Одним из вариантов является расстановка в таких парах чисел , , и .
Возможно много вариантов расстановок, удовлетворяющих условию.