Всесиб 2022, отборочный этап, 9 класс, задача 2
( баллов) Представить число в виде суммы максимально возможного количества различных попарно взаимно простых натуральных чисел. Пояснение: условие означает, что наибольший общий делитель любых двух чисел, использованных в сумме, равен .
Ответ
Ответ. является суммой всех девяти первых простых чисел от до включительно.
Решение. Действительно,
количество слагаемых — — при этом максимально возможное. Если бы сто являлось суммой не менее, чем десяти различных попарно взаимно простых натуральных чисел, то в силу попарной взаимной простоты простые множители у любых двух из них были бы различны. Оставив от каждого не равного числа любой его простой делитель, мы бы получили десять или больше различных чисел, каждое из которых простое кроме, возможно одного, равного , сумма которых не превосходит . Последнее невозможно, поскольку сумма десяти наименьших простых чисел равна
а сумма и девяти наименьших простых чисел равна