Покори Воробьёвы горы 2025, отборочный этап, 7–8 класс, задача 5

Прямая () пересекает оси координат в точках и . Найдите наименьшую площадь треугольника , где – начало координат.

Ответ

Ответ: .

Решение. Координаты точек пересечения: и . Треугольник – прямоугольный, поэтому его площадь равна

Применяя неравенство о средних, получаем

Поэтому минимальная площадь равна , и достигается она при , то есть при .

Другой способ:

Равенство достигается при , то есть при .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 10–11 классы, задача 1

Решите неравенство (√(frac{x/γ) +(α+2))-(x/γ) -α}{x²+ax+b}ge0. В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру 0. α=3, γ=1, a=-15, b=54.

Средняя

Алгебра

Неравенства

Функции

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 10–11 классы, задача 4

Решите систему Вычислите значения выражения (x_k/y_k) для каждого решения (x_k,y_k) системы и найдите среди них минимальное. В ответе укажите найденное минимальное значение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

Средняя

Алгебра

Уравнения

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 10–11 классы, задача 6

Найдите все целые значения a, не превосходящие по абсолютной величине 15, при каждом из которых неравенство (4x-a-4/6x+a-12) le0 выполняется при всех x из промежутка [2;3]. В ответе укажите сумму всех таких a.

Средняя

Алгебра

Неравенства

Покори Воробьёвы горы 2023, отборочный этап, 11 класс, задача 7 (творческая I)

Найдите сумму 1 · 3+3 · 5+5 · 7+ldots+59 · 61.

Средняя

Алгебра

Выражения и преобразования

Прогрессии