Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 4
Пункты и находятся на шоссе на расстоянии километров друг от друга. В полдень из пункта в направлении пункта выезжает мотоцикл (его движение не заканчивается в пункте ). Он едет с постоянной скоростью км/ч. Одновременно вместе с мотоциклом из пункта выезжает машина, которая движется в том же направлении вдоль шоссе, что и мотоцикл. Машина начинает движение с нулевой скоростью и движется с постоянным ускорением км/ч. Определите наименьшее расстояние между машиной и мотоциклом в первые два часа движения. Ответ выразите в километрах.
Ответ
Ответ. .
Решение. Будем считать, что вдоль шоссе идёт координатная прямая такая, что пункт имеет координату , а пункт — координату . Тогда спустя часов координата мотоцикла — это , а координата машины равна
Расстояние между ними равно . Выражение под модулем — это квадратичная функция; её минимум принимается в точке , и он равен . Значит, выражение под модулем положительно при всех , мотоцикл никогда не догонит машину, а минимальное расстояние между ними будет километров.