Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 1

Пусть для некоторого уравнение имеет два различных корня и . Какое наименьшее значение может принимать , если ?

Ответ

Ответ. .

Решение. По условию . Докажем, что . Из теоремы Виета получаем

Так как , то разделим равенство на . Нам нужно доказать равенство

Получаем

что и требовалось. Значит, , откуда . И искомое наименьшее значение равно . (По условию такой трёхчлен существует. Но тогда и трёхчлен также удовлетворяет условию.)

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 3

Ваня с родителями ест плитку шоколада. Сначала мама откусила dfrac1{13}-ю часть плитки, а оставшуюся часть отдала Ване. Затем Ваня откусил dfrac1{13}-ю часть от того, что осталось, и отдал остальное папе. После этого папа откусил dfrac1{13}-ю часть от полученного и отдал остаток маме. Далее мама сно

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 3

Ваня и Лёня бегают по круговой дорожке стадиона 500-метровой длины в одном направлении. Ваня бежит с постоянной скоростью v км/ч, но он начал пробежку на 23 минуты позже Лёни. А Лёня бежит с постоянной скоростью 12 км/ч, но останавливается на 1 минуту каждые 300 метров. С какой скоростью v бежит Ван

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

При каком наименьшем значении параметра a каждое решение неравенства log_x+1(3-ax)>0 удовлетворяет неравенству x²+dfrac{2a-5}{2a}x-dfrac5{2a}>0?

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 4

Пункты A и B находятся на шоссе на расстоянии 70 километров друг от друга. В полдень из пункта A в направлении пункта B выезжает мотоцикл (его движение не заканчивается в пункте B). Он едет с постоянной скоростью 50 км/ч. Одновременно вместе с мотоциклом из пункта B выезжает машина, которая движется

Средняя

Выражения и преобразования