Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 5

Дана правильная треугольная призма с основанием , длины всех рёбер которой равны между собой. На рёбрах , и отмечены точки , и соответственно, причём , и . Найдите тангенс угла между плоскостями и .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть длина ребра призмы равна , — середина , — точка пересечения прямых и , — точка пересечения прямых и . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия , поэтому

Треугольники и подобны с коэффициентом подобия

отсюда . Заметим, что , поэтому и . Поэтому искомый угол равен углу и

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, четвёртый тур, задача 2

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S, в которой AB=14√(42), AS=49√6. Муравей пробежал по всем боковым граням пирамиды, начав путь в вершине A, и вернувшись в эту же вершину. Какой минимальный путь он мог проделать?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

В треугольнике ABC со стороной BC=3√(193) ортогональные проекции медианы BM на прямые AB и AC равны и имеют длину 25,2. Найдите длину биссектрисы AL треугольника ABC.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

На стороне BC треугольника ABC отмечены точки X и Y, а на меньшей дуге BC его описанной окружности отмечены точки P и Q так, что указанные на чертеже штрихами дуги и отрезки равны. Лучи PX и QY пересекаются в точке R. Найдите угол BAC, если угол BRC равен α. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 5

Расстояние между центрами двух квадратов со стороной 1 равно 0,8, а одна из сторон первого квадрата параллельна одной из сторон второго. Какую наименьшую площадь может иметь их общая часть?

Средняя

Планиметрия