Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиада школьников «Физтех» по математике, Отборочный этап, 2025, 10 класс, Первый тур

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 6

Из пункта в пункт по прямолинейной железной дороге с постоянной скоростью км/ч движется поезд. В точке , расположенной на расстоянии км от железной дороги и на расстоянии км от точки , находится мотоциклист. С какой минимальной постоянной скоростью должен двигаться мотоциклист, чтобы догнать поезд, если известно, что угол острый? Ответ дайте в км/ч.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — точка встречи поезда и мотоциклиста, — время движения мотоциклиста, — его скорость, , — расстояние от точки до точки , — скорость поезда, а — расстояние от точки до железной дороги. Из теоремы косинусов, применённой к треугольнику , имеем:

Так как , то минимум достигается при . В этом случае , поэтому км/ч.

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

На стороне BC треугольника ABC отмечены точки X и Y, а на меньшей дуге BC его описанной окружности отмечены точки P и Q так, что указанные на чертеже штрихами дуги и отрезки равны. Лучи PX и QY пересекаются в точке R. Найдите угол BAC, если угол BRC равен α. Рисунок к условию
Средняя
Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 1

Две окружности ω1 и ω2 равного радиуса 10 пересекаются в точках B и C. На окружности ω1 выбрана точка A, которая не лежит внутри ω2. Луч AB пересекает ω2 в точке D, причём B лежит на отрезке AD. Точка E симметрична точке D относительно точки C.
Средняя
Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 2

Точка F лежит на катете KP прямоугольного треугольника KPM, периметр которого равен 45. Окружность радиуса 5 с центром в точке F касается гипотенузы PM и катета KM. Найдите все возможные значения KM. Если их несколько, запишите в ответе их сумму.
Средняя
Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, четвёртый тур, задача 5

На трёх параллельных прямых ell1, ell2, ell3 взяты точки A1, A2, A3 соответственно, и при этом A1A2=A1A3. Известно, что расстояние между прямыми ell1 и ell2 равно 5, ра
Средняя
Планиметрия