Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 8
Петя записал на доске множество всех натуральных чисел от до . Затем Вася для всех непустых подмножеств множества нашёл средние арифметические входящих в них чисел, после чего сообщил Пете число — среднее арифметическое всех найденных им средних арифметических.
Затем Петя заменил в своём множестве число на число , а Вася пересчитал ту же величину для нового множества. На сколько увеличилось значение ?
Ответ
Ответ. .
Решение. Заметим, что для множества чисел значение есть сумма вида
т. е. каждый элемент множества даёт линейный вклад в эту величину. При этом в силу симметрии все коэффициенты равны одному и тому же числу . Вычислим из условия, что для множества среднее значение средних значений :
После замены числа на величина изменилась на