Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

Для какого наибольшего числа существуют такие числа и , что , а уравнения и имеют два общих корня?

Ответ

Ответ. .

Решение. Вычитая первое уравнение из второго, получаем уравнение

корнями которого являются два общих корня исходных уравнений. Домножаем первое уравнение на и вычитаем из него уравнение , умноженное на . Получаем уравнение

корнями которого также являются два общих корня исходных уравнений. Значит, левые части уравнений и пропорциональны. Отсюда , . Остаётся проверить, что при найденных значениях и исходные уравнения имеют два общих корня. Значит, .

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, четвёртый тур, задача 1

Какого наибольшего значения может достигать y, если известно, что существует такое число x, что выполняется соотношение x-2√(x+7)=2√(y+7)-y?

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, третий тур, задача 4

Найдите максимальное значение y, при котором существует ровно два значения переменной x, удовлетворяющих уравнению √(6-y)+√(y+2)=x⁴-8x²+20.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 5

Дискриминант приведённого квадратного трёхчлена равен D. Известно, что его различные корни равны D и 1,5D. Найдите больший корень.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 2

Петя распределяет сумму 63000 рублей по трём инвестиционным проектам: в первом и втором указана доходность 3% и 5% годовых, а в третьем 6% годовых соответственно. Известно, что только один из проектов принесёт указанную доходность, а два других лишь вернут изначально вложенную сумму. Известно также,

Средняя

Выражения и преобразования