Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 2
Петя распределяет сумму рублей по трём инвестиционным проектам: в первом и втором указана доходность и годовых, а в третьем годовых соответственно. Известно, что только один из проектов принесёт указанную доходность, а два других лишь вернут изначально вложенную сумму. Известно также, что Петя распределил деньги таким образом, чтобы его гарантированный доход (тот, что он получит в наихудшем случае) был как можно большим. Какую сумму он при этом вложил в первый проект?
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть вложено в первый проект, во второй, а — в третий. Тогда Петя должен максимизировать . Максимум достигается, когда : если какие-то две из указанных величин не равны, то можно увеличить меньшую из них и уменьшить большую из них, не уменьшив общей прибыли. Например, если , то доход не уменьшится, если увеличить и уменьшить вплоть до равенства .
Итак, нужно разделить суммы в отношении
Поэтому .