Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 4

Даны две концентрические окружности и с центром в точке , причём радиус больше радиуса . На луче с началом в точке , пересекающем окружность в точке , отмечена точка такая, что . На окружности выбраны точки и таким образом, что прямые и касаются этой окружности. Прямая касается окружности в точке . Найдите наибольшую возможную длину , если , .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть радиусы окружностей и равны и соответственно. По теореме Пифагора для треугольников , , получаем равенства

Тогда, вычитая из суммы равенств и соотношение , получаем , откуда и .

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 6

Диагонали трапеции ABCD (ADparallel BC) пересекаются в точке O. Известно, что OB=15, OC=12, OD=25, CD=√(769). Найдите AB.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 4

Даны два прямых круговых конуса, основания которых — концентрические круги, расположенные в плоскости α. Известно, что конусы расположены по одну сторону от плоскости α, их объёмы равны 1, а отношение радиусов оснований равно 3. Найдите объём общей части конусов. Ответ округлите до четырёх знаков по

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

На двух параллельных прямых взяты точки A, B, C, D, X, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение BC:AD=x, после чего отметил точки пересечения медиан P, Q, R соответственно треугольников BAX, CDX и AXD. Петя вычислил площадь треугольника PQR: она оказалась равна S. Найдите площадь треугольника A

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5

Биссектрисы прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC пересекаются в точке P. Окружность с диаметром BP пересекает катеты AB и BC в точках K и M соответственно. Прямые KP и MP пересекают гипотенузу в точках E и T соответственно. Найдите площадь четырёхугольника KBMP, если PT=3, EP=4.

Средняя

Планиметрия