Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 6
У Серёжи имеется новогодний подарок из конфет, в котором есть конфеты только трёх типов: карамельки, шоколадные и ириски. Серёжа заметил, что если он сейчас съест несколько ирисок, то
- вероятность того, что он вытянет шоколадную конфету, удвоится;
- вероятность того, что он вытянет ириску, будет равна вероятности вытянуть карамельку из нераспакованного подарка.
Какое минимальное число ирисок может быть в изначальном подарке, если известно, что шоколадных конфет в нём , а всех конфет — не менее ?
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть , , — количества карамелек, шоколадных конфет и ирисок в изначальном новогоднем подарке соответственно. Обозначим за то количество ирисок, которое Серёжа должен съесть, чтобы выполнялись условия задачи. Тогда из первого условия получаем равенство
Из второго условия следует, что
Так как шоколадных конфет , то получаем, что сумма всех конфет первоначального набора равна , поэтому . У получившегося диофантова уравнения решениями являются пары , , где — произвольное целое число. Так как , то , поэтому минимальное количество ирисок равно . Остаётся заметить, что при , , , , условие задачи выполнено.