Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8
На занятии по физкультуре учитель расставил школьников в шеренгу в случайном порядке (любой порядок равновероятен), а затем попросил старосту вычислить количество пар школьников, в которых стоящий справа ниже, чем стоящий слева (между школьниками в паре могут стоять и другие школьники). Какова вероятность, что староста получил число ? Известно, что все школьники в классе разного роста.
Ответ
Ответ. .
Решение. Староста может вычислить требуемое число следующим образом: пусть каждый школьник посчитает количество школьников справа от него, ниже его по росту. После этого старосте достаточно сложить все числа, которые посчитали все школьники. Заметим, что общее число пар равно , и это число отличается от данного на , поэтому лишь в двух парах порядок школьников по росту противоположный. Значит, либо два школьника назвали число, отличающееся от максимально возможного для их позиции, на единицу (среди этих школьников не могло быть последнего в шеренге), либо ровно один школьник назвал число, меньшее максимально возможного на (это не могло получиться для последнего и предпоследнего школьников). В итоге получаем вариантов. Вероятность равна .