Всесиб 2022, отборочный этап, 10 класс, задача 5
( баллов) Докажите, что для любой точки внутри равностороннего треугольника такой, что величина угла равна , из отрезков , и можно составить прямоугольный треугольник.
Ответ
Доказательство. Построим на отрезке равносторонний треугольник так, чтобы его вершина лежала ниже стороны . Углы и равны по , поэтому равны углы и . Следовательно, треугольники и равны по парам равным сторонам и и равным углам и между ними. Значит, в этих треугольниках равны и третьи соответствующие стороны и . Таким образом, в треугольнике длины сторон , и равны соответственно длинам отрезков , и , а угол равен разности углов и , то есть . Требуемый в условии прямоугольный треугольник построен.
