Всесиб 2025, отборочный этап, 9 класс, задача 1

( баллов) Разрезать прямоугольник размера на на несколько частей, из которых можно сложить квадрат площади . Разрезы должны проходить по отрезкам прямых.

Ответ

Решение. Будем называть прямоугольник длины и ширины полоской длины . Разрежем прямоугольник на на две полоски длины и две полоски длины . Из полосок длины сложим квадрат на . Каждую полоску длины разрежем по диагонали на два прямоугольных треугольника с катетами длины и и приложим их к полученному квадрату на , как показано на рисунке:

Схема разрезания и сложения квадрата

Если предложена указанная в авторском решении правильная схема, даже без дополнительных обоснований.

Если предложено некоторое нестандартное разрезание (но верное) и сложение, может понадобиться её обоснование. За его отсутствие можно снять до двух.

-2

Если приведено разрезание и сложение из части кусков квадрата площади меньше .

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2023, отборочный этап, 8 класс, задача 4

(7 баллов) В треугольнике ABC на стороне AC отмечена такая точка D, что BC=CD. Найдите AD, если известно, что BD=13, а угол CAB в три раза меньше угла CBA.

Простая

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2022, отборочный этап, 10 класс, задача 5

(7 баллов) Докажите, что для любой точки M внутри равностороннего треугольника ABC такой, что величина угла AMC равна 150^circ, из отрезков MA, MB и MC можно составить прямоугольный треугольник.

Простая

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2022, отборочный этап, 9 класс, задача 3

(7 баллов) В выпуклом четырёхугольнике ABCD обозначим за P и R середины сторон AB и CD соответственно, а за Q и S — середины диагоналей BD и AC соответственно. Докажите, что, если отрезки PR и QS перпендикулярны, то длины сторон BC и AD четырёхугольника равны.

Простая

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2024, отборочный этап, 7 класс, задача 1

(7 баллов) Вера разрезала изображённую ниже фигуру по линиям сетки на 5 частей равной площади. Оказалось, что среди этих частей нет одинаковых. Приведите пример, как такое могло быть. (Достаточно привести один пример. Напомним, что фигуры являются одинаковыми, если их можно совместить наложением.) И

Простая

Геометрия

Комбинаторика