Всесиб 2022, отборочный этап, 9 класс, задача 3
( баллов) В выпуклом четырёхугольнике обозначим за и середины сторон и соответственно, а за и — середины диагоналей и соответственно. Докажите, что, если отрезки и перпендикулярны, то длины сторон и четырёхугольника равны.
Ответ
Доказательство. Отрезки и являются средними линиями в треугольниках и соответственно, поэтому они параллельны стороне и между собой, а их длины равны половине длины . Аналогично, отрезки и являются средними линиями в треугольниках и соответственно, поэтому они параллельны стороне и между собой, а их длины равны половине длины . Следовательно, четырёхугольник является параллелограммом с перпендикулярными диагоналями и . Хорошо известно, что такой параллелограмм является ромбом, а все стороны ромба равны, поэтому стороны и исходного четырёхугольника равны удвоенным длинам сторон и ромба, то есть равны между собой.