Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10
Найдите количество пар таких, что и
Ответ
Ответ. .
Решение. Решим первое уравнение системы:
Отсюда получаем два семейства решений:
или
Упрощаем полученный результат:
Аналогично получаем решение второго уравнения системы:
Тогда решение системы двух уравнений из условия сводится к двум семействам:
где . Подставим значения и в неравенство из условия:
Множество точек на плоскости , заданное неравенством , — это прямоугольник
В нём точек с целочисленными координатами.
Подставим значения и в неравенство из условия:
Из следует . С учётом того, что , получаем .
При : , то есть .
При : , то есть .
При : , то есть .
При : , то есть .
Всего точек с целочисленными координатами, удовлетворяющих неравенству , . Итоговый ответ: точек.