Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 4
Даны натуральных чисел, в записи которых встречается одна-единственная цифра (например, , , , , ...). Сколько цифр использовано для записи всех чисел, если известно, что сумма этих чисел равна ?
Ответ
Ответ. .
Решение. Все числа оканчиваются одной и той же цифрой , и их штук. Так как при сложении чисел, оканчивающихся на цифру , получилось число, оканчивающееся на цифру , то . Если среди них нет ни одного четырёхзначного числа, то сумма чисел не превосходит . Значит, по крайней мере одно четырёхзначное число есть. Также очевидно, что более одного четырёхзначного числа быть не может (тогда было бы, что ). Таким образом, , и тогда сумма оставшихся чисел равна . Аналогично устанавливаем, что трёхзначных чисел ровно пять: если бы их было шесть или больше, то их сумма была бы по крайней мере , а если бы их было не более четырёх, то сумма чисел была бы не более . Итак, , . На этом этапе можно обойтись без оценок: пусть из семи чисел равны , а остальные чисел равны — тогда
откуда . Итак, данные числа — это , , , , , , , , , , , , , и для их записи использовано цифр.