Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 3

Известно, что при некоторых ровно два из четырёх чисел

равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения .

Ответ

Ответ. .

Решение. Если эти числа обозначить , , , , то окажется, что . Это означает, что , . Значит, имеет смысл рассмотреть только два варианта: и . Уравнение не имеет решений. даёт

откуда , . Следовательно, единственная возможность — это , . Несложно проверить, что при этом равны между собой ровно два из четырёх чисел.

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 2

Найдите сумму квадратов всех решений уравнения x²-14[3x]+152=0. (Здесь [x] обозначает целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [1,7]=1, [-1,7]=-2.)

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 4

Когда каждое из 15 последовательных натуральных чисел уменьшили на 2, произведение этих чисел уменьшилось в 3 раза. Найдите наименьшее из 15 исходных чисел.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 7

Для некоторых различных чисел x и y выполняются равенства x²-y²=15(x-y) и x³-y³=225(x-y). При каком наибольшем k может выполняться равенство x⁷-y⁷=k(x⁴-y⁴)?

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10

Найдите количество пар (x;y) таких, что x,y∈mathbb Z и

Средняя

Выражения и преобразования