Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 4

Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от до три различных числа так, чтобы их сумма делилась на ?

Ответ

Ответ. .

Решение. Найдём количество способов выбрать нужные три числа из натуральных чисел от до . Все способы разобьём на два класса: к первому отнесём все те тройки, в которых остатки всех трёх чисел от деления на одинаковы, а ко второму — тройки, в которых все три остатка от деления на встречаются по одному разу. Общее число способов из первого класса равно , поскольку чисел, кратных , — всего , а чисел, имеющих остатки и при делении на , — по штук. Число способов из второго класса, соответственно, равно . Получаем ответ

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 5

На доске написаны подряд идущие натуральные числа от 1 до 301 (каждое из них ровно один раз). Сколькими способами можно стереть три из написанных чисел так, чтобы остаток от деления суммы всех чисел на доске на 3 после этого не изменился?

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, третий тур, задача 4

Дана клетчатая прямоугольная доска размера 10 × 12. За один ход фишку можно передвинуть либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх. Сколькими способами можно переместить фишку из левого нижнего угла доски (клетка с координатами (1;1)) в правый верхний угол (клетка с координатами (10;12)),

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 3

Назовём натуральное четырёхзначное число хорошим, если оно имеет в своей записи ровно две различные цифры, причём эти цифры имеют одну чётность. Найдите количество хороших чисел.

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 8

У фокусника есть два набора по 40 карточек. На карточках каждого набора написаны различные натуральные числа от 1 до 40 (по одному числу на карточке). Фокусник перемешал карточки в каждом из наборов. После чего карточки первого набора он положил сверху на карточки второго набора. Затем он посчитал к

Средняя

Комбинаторика