Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 4
Найдите минимальное значение параметра , при котором множество решений уравнения
имеет ровно одну общую точку с множеством решений системы
Ответ
Ответ. .
Решение. Исходная система неравенств при каждом фиксированном значении параметра задаёт пересечение двух полуплоскостей, границами которых являются прямые и , заданные уравнениями и соответственно. Пусть — прямая, заданная условием .
Заметим, что если прямые , и не проходят через одну точку, то такие значения параметра нам не подходят: в этом случае пересечение соответствующих полуплоскостей будет пустым множеством или будет состоять из бесконечного числа точек. Таким образом, необходимым условием для искомого значения параметра является существование общей точки для прямых , и .
Найдём точку пересечения прямых и . Для этого найдём решение системы
Решая её, получим, что либо , либо , . Рассмотрим оба случая. Простой проверкой убеждаемся, что не подходит. Таким образом, — точка пересечения прямых и . Теперь запишем условие прохождения прямой через точку : получим, что .
Остаётся проверить, что найденное значение параметра подходит. Подставим в исходную систему:
Легко видеть, что у этой системы неравенств с прямой только одно решение , .