Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 3
Найдите минимальное значение параметра , при котором система
имеет единственное решение.
Ответ
Ответ. .
Решение. Исходная система неравенств при каждом фиксированном значении параметра задаёт пересечение трёх полуплоскостей, границами которых являются прямые , и , заданные уравнениями , и соответственно.
Заметим, что если прямые , и не проходят через одну точку, то такие значения параметра нам не подходят: в этом случае пересечение соответствующих полуплоскостей будет пустым множеством или будет состоять из бесконечного числа точек. Таким образом, необходимым условием для искомого значения параметра является существование общей точки для прямых , и .
Найдём точку пересечения прямых и : ей будет точка . Запишем условие прохождения прямой через точку : получим уравнение
Легко проверить, что его корнями являются , и . Остаётся проверить найденные значения параметра. Проверкой убеждаемся, что подходит лишь значение .