Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 5
Числа , таковы, что , . Какое наибольшее значение может принимать выражение ?
Ответ
Ответ. .
Решение.
- Если хотя бы одно из чисел , равно нулю, то значение выражения равно нулю.
- Если числа , разных знаков, то значение выражения отрицательно.
- Пусть числа , одного знака. Без ограничения общности можно считать, что они положительны. Заметим, что , если (по условию ). Тогда по неравенству Коши
причём неравенство обращается в равенство при , то есть при . Значит,
Неравенство обращается в равенство при , .