Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 7

Найдите количество всех пар натуральных чисел , , при которых верно равенство

Ответ

Ответ. .

Решение. Заметим, что число должно делиться на . Также заметим, что если , то

а если , то

Поэтому если для натурального выражение делится на , то найдётся такое натуральное , что требуемое равенство будет верным.

Выражение делится на , а выражение делится на только в том случае, когда имеет остаток или при делении на . Таким образом, нам подходят такие натуральные , которые делятся на и имеют остаток или при делении на . То есть это числа вида и . Таких чисел от до будет ровно , и для каждого из них найдётся ровно одно натуральное .

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 1

Пару взаимно простых натуральных чисел a и b назовём забавной, если |a-b|<5. Найдите количество забавных пар чисел (x,y) таких, что 60le x

Средняя

Теория чисел

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, третий тур, задача 1

Найдите сумму всевозможных пятизначных чисел A таких, что сумма остатков от деления чисел 3A, 4A, 5A на некоторую степень числа 10 равна 12,364.

Средняя

Теория чисел

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 3

Вера написала на доске шестизначное число. Надя переставила его первую цифру в конец и написала полученное шестизначное число на доске. (Например, если Вера написала 123,456, то Надя написала 234,561.) Люба сложила два написанных на доске числа. Определите, какие числа из отрезка [180,000;230,000] м

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 2

Найдите наибольшее натуральное k такое, что число 300²⁷⁰⁰-3²⁷⁰⁰ делится на 3^k.

Средняя

Теория чисел