Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 3
Множество состоит из всех действительных чисел , для которых оба числа и являются целыми. Найдите сумму квадратов всех элементов множества .
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть
где и — целые числа. Тогда . Вычитая из второго равенства это равенство, получаем
Если , то — рациональное число. Пусть , где и — взаимно простые целые числа. Из того, что — целое число, следует , то есть .
Если , то , а корнями уравнения являются . Таким образом,