Всесиб 2022, отборочный этап, 7 класс, задача 5
( баллов) На вечеринку пришло человек. Известно, у каждого из них ровно друзей среди пришедших (дружба взаимна). Кроме того, посреди вечеринки людей вышли на балкон, и оказалось, что все они дружат друг с другом. Докажите, что всех пришедших на вечеринку людей можно разделить по двум комнатам таким образом, чтобы в каждой комнате все дружили со всеми.
Ответ
Решение. Пусть каждые два друга дадут по подзатыльнику друг другу. Зафиксируем десятерых, любые двое из которых друзья (те, кто вышел на балкон). Назовём их синими, а остальных десятерых — зелёными. Каждый из синих знаком с девятью синими и, стало быть, с пятью зелёными. Значит, всего синие дали зелёным подзатыльников (следовательно, и зелёные синим тоже).
Поскольку в сумме зелёные дали подзатыльников, из них приходятся на подзатыльники, данные зелёными между собой. Так как каждый из зелёных мог дать подзатыльник только зелёным (то есть, максимум подзатыльников всего), то зелёными были даны все возможные подзатыльники, то есть каждый из зелёных дружит с каждым, что и завершает доказательство.