Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 10
Рассматриваются многочлены вида
с неотрицательными коэффициентами , имеющие по семь действительных корней (не обязательно различных). Какое наименьшее значение может иметь ?
Ответ
Ответ. .
Решение. Поскольку многочлен имеет действительных корней, его можно записать в виде , где — корни многочлена. Тогда
Из условия, что все коэффициенты многочлена неотрицательны, получаем, что при выполняется . Следовательно, все корни многочлена отрицательны.
Сделав для удобства замену , получим . Нужно минимизировать данное выражение при , .
Рассмотрим выражения
Поскольку среднее арифметическое не меньше среднего геометрического,
получим , причём данные выражения равны при . Аналогичное заключение можно сделать для остальных пар переменных. Таким образом, принимает минимальное значение при
Получаем ответ: наименьшее значение