Всесиб 2026, 11 класс, задача 2
( баллов) Пусть , , - бесконечная последовательность положительных действительных чисел таких, что и , . Докажите, что для всех натуральных .
Доказательство. Индукция по . База индукции: при имеем - верно.
Шаг индукции. Пусть , тогда , отсюда положительный корень , нужно убедиться в том, что . Ввиду того, что, по предположению индукции , требуемое неравенство следует из более сильного . Последнее равносильно неравенству , которое, очевидно, верно.
Замечено, что достаточно доказать более сильное неравенство
Если отсутствует замечание о том, что неравенство более сильное, чем (снимается 3)
При доказательстве от обратного и отсутствии базы (минус 1)
Получено промежуточное утверждение с верным обоснованием
Доказательство утверждения, которое нужно доказать, без указания равносильности (засчитывалось как логическая ошибка)