СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 6

( баллов) Центры четырех шаров радиуса находятся в вершинах квадрата со стороной . Прямой круговой цилиндр касается всех четырех шаров внешним образом, его ось перпендикулярна к паре параллельных сторон квадрата и образует с плоскостью квадрата угол . Найдите радиус цилиндра.

Ответ

Ответ: .

Чертеж к задаче 6

Решение. Пусть цилиндр имеет радиус . Рассмотрим проекцию на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра. Проекцией квадрата, образованного центрами шаров, будет прямоугольник со сторонами и . Проекциями шаров будут окружности радиуса , с центрами в вершинах этого прямоугольника, а проекцией цилиндра - окружность радиуса . Точки касания цилиндра с шарами перейдут в точки касания окружностей. Пусть - точка пересечения оси цилиндра с плоскостью проекции. Тогда расстояние от точки до каждой из вершин прямоугольника равно . Следовательно, эта точка является пересечением диагоналей прямоугольника и . Таким образом, .

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Внутри треугольника AOB выбрана такая точка K, что прямая KO является биссектрисой угла CKD. Луч DK вторично пересекает описанную окружность треугольника COK в точке L, а луч CK вторично пересекает описанную окружность тр

Очень сложная

Планиметрия

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На продолжении стороны AC за точку C отмечена точка K, и в треугольник ABK вписана окружность с центром в точке I. Через точки B и I проведена окружность, касающаяся прямой AB в точке B. Эта окружность вторично пересекает отрезок BK в т

Очень сложная

Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) На стороне BC остроугольного треугольника ABC отмечена точка P. Через точку P проведена касательная к описанной окружности треугольника ABP и из точки C на эту касательную опущен перпендикуляр, точка Q - основание этого перпендикуляра. Через точку P проведена касательная к описанной окру

Очень сложная

Планиметрия

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Пусть Ω и Γ — две такие окружности с центрами O и P соответственно, что окружность Γ проходит через точку O. На окружности Γ вне окружности Ω выбрана точка M. Касательные к Ω, проходящие через M, касаются Ω в точках A и B и вторично пересекают Γ в точках C и D. Отрезки AB и CD пересекают

Очень сложная

Планиметрия