СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 6

Очень сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2026, 10–11 классы

( баллов) Центры четырех шаров радиуса находятся в вершинах квадрата со стороной . Прямой круговой цилиндр касается всех четырех шаров внешним образом, его ось перпендикулярна к паре параллельных сторон квадрата и образует с плоскостью квадрата угол . Найдите радиус цилиндра.

Ответ: .

Чертеж к задаче 6

Решение. Пусть цилиндр имеет радиус . Рассмотрим проекцию на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра. Проекцией квадрата, образованного центрами шаров, будет прямоугольник со сторонами и . Проекциями шаров будут окружности радиуса , с центрами в вершинах этого прямоугольника, а проекцией цилиндра - окружность радиуса . Точки касания цилиндра с шарами перейдут в точки касания окружностей. Пусть - точка пересечения оси цилиндра с плоскостью проекции. Тогда расстояние от точки до каждой из вершин прямоугольника равно . Следовательно, эта точка является пересечением диагоналей прямоугольника и . Таким образом, .

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Внутри треугольника AOB выбрана такая точка K, что прямая KO является биссектрисой угла CKD. Луч DK вторично пересекает описанную окружность треугольника COK в точке L, а луч CK вторично пересекает описанную окружность тр

Очень сложная

Планиметрия

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На продолжении стороны AC за точку C отмечена точка K, и в треугольник ABK вписана окружность с центром в точке I. Через точки B и I проведена окружность, касающаяся прямой AB в точке B. Эта окружность вторично пересекает отрезок BK в т

Очень сложная

Планиметрия

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр

Очень сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан остроугольный треугольник ABC, меньший угол которого angle ABC=40^circ. Внутри треугольника выбрана такая точка D, что angle BAC+angle ADB=180^circ и 2angle ACB+angle DBA=180^circ. Через точку C провели прямую, параллельную прямой AD, она пересекла пряму

Очень сложная

Планиметрия

Комбинаторика