Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

Точка расположена вне окружности с центром , точка — внутри , а точка — на . Отрезок пересекает в точке , а прямая касается окружности. Найдите квадрат радиуса окружности, если известно, что , , , .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — вторая точка пересечения прямой с окружностью. По теореме о касательной и секущей , поэтому и . Пусть , . По теореме косинусов для треугольников и получаем равенства

Решая эту систему, находим, что , .

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 4

Найдите максимальное значение отношения dfrac xy, если 90-12y+y²-16x+x²=0.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 2

Точка F лежит на катете KP прямоугольного треугольника KPM, периметр которого равен 45. Окружность радиуса 5 с центром в точке F касается гипотенузы PM и катета KM. Найдите все возможные значения KM. Если их несколько, запишите в ответе их сумму.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

В треугольнике ABC со стороной BC=3√(193) ортогональные проекции медианы BM на прямые AB и AC равны и имеют длину 25,2. Найдите длину биссектрисы AL треугольника ABC.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, третий тур, задача 3

Прямоугольный треугольник ABC (angle A=90^circ) с катетами 51 и 70 вписан в окружность Γ. Пусть E и F — середины меньших дуг AB и AC описанной окружности. Вычислите длину части отрезка EF, попавшей внутрь треугольника ABC. Ответ округлите до сотых.

Средняя

Планиметрия