Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5

На рёбрах , треугольной пирамиды отмечены точки , соответственно, причём и ; — точка пересечения медиан треугольника . Плоскость пересекает ребро в точке . Найдите длину отрезка , если известно, что длина .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — точка пересечения и , — середина . Тогда — точка пересечения и . По теореме Менелая для треугольников и

Следовательно,

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

Точка K расположена вне окружности Ω с центром O, точка M — внутри Ω, а точка P — на Ω. Отрезок KM пересекает Ω в точке L, а прямая KP касается окружности. Найдите квадрат радиуса окружности, если известно, что OM=2, LM=5, KL=9, KP=12.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 4

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R, а P — точка пересечения его биссектрис. Известно, что площадь треугольника APC и площадь четырёхугольника PFBE равны (см. рисунок). Найдите наибольшее значение произведения AB · BC, если angle ABC=β. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 5

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ с основанием ABC, длины всех рёбер которой равны между собой. На рёбрах A₁C₁, B₁B и BC отмечены точки P, Q и R соответственно, причём A₁P:A₁C₁=2:5, B₁

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, третий тур, задача 1

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведены биссектрисы AP и CQ. Точки M и N — проекции точек Q и P на сторону AC соответственно. Найдите MN, если расстояние от вершины B до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, равно 17√2.

Средняя

Планиметрия