Росатом 2023, 10 класс, задача 5
К источнику постоянного напряжения подключили бесконечную цепь одинаковых амперметров, резисторов и вольтметров. Сопротивление каждого амперметра , резистора , вольтметра . Найти показания первого и второго амперметров, а также сумму показаний всех амперметров и вольтметров.
Решение.
Найдем сопротивление цепи . Мысленно отрезая одну ячейку и требуя, чтобы оставшееся сопротивление было равно , получим уравнение для
которое сводится к квадратному
решая это квадратное уравнение и выбирая положительный корень, найдем
Отсюда находим ток через источник, который совпадает с показаниями первого амперметра
Напряжение на первом вольтметре можно найти как
Это значит, что ко второму звену цепочки приложено такое напряжение, и показания второго амперметра в раза меньше показаний первого
Сумму показаний вольтметров можно найти так. Очевидно, что сумма токов через все вольтметры равна току через источник. Поэтому сумма показаний вольтметров равна
Сумму показаний амперметров можно найти так. Очевидно, сумма падений напряжения на амперметрах и резисторах равна напряжению источника. Но падение напряжения на каждом амперметре составляет треть от падения напряжения на последовательно с ним соединенном резисторе. Поэтому сумма падений напряжений на всех амперметрах составляет одну четверть напряжения источника. Или
Поэтому
Правильно найдено сопротивление цепи
Правильно найдено показание первого амперметра
Правильно найдено показание второго амперметра
Правильно найдена сумма показаний всех вольтметров
Правильно найдена сумма показаний всех амперметров