Росатом 2025, 10 класс, задача 3
Металлический шар радиуса окружен тонкостенной металлической сферой радиуса , концентрической с шаром (см. рисунок). Известно, что на внутренней поверхности сферы будет индуцирован положительный заряд (), а потенциал шара вдвое меньше потенциала сферы. Найти заряд, индуцированный на внешней поверхности сферы. Является ли заряженным металлический шар и если, да, то каков его заряд?
Ответ
Решение.
Центральный шар, конечно, является заряженным, поскольку в противном случае весь заряд сферы располагался бы на ее внешней поверхности (а если бы она была не заряжена, то и на внутренней и внешней поверхности вообще не было бы зарядов).
Далее. Так как сфера металлическая, напряженность электрического поля внутри металла оболочки сферы равна нулю. При этом это поле создается только зарядом центрального шара и зарядом, внутренней поверхности сферической оболочки; заряд же внешней поверхности сферы, поле внутри оболочки не создает. А поскольку заряд, равномерно распределенный по шару или сфере, создает такое же поле, как точечный заряд в их центре, то заряд центрального шара равен по величине и противоположен по знаку заряду внутренней поверхности сферической оболочки:
Найдем теперь заряд внешней поверхности сферической оболочки. Учтем тот факт, что потенциал центрального шара вдвое меньше потенциала сферы. Потенциал поля центрального шара есть сумма потенциалов полей, создаваемых зарядами этого шара, внутренней и внешней поверхностей сферы. Используя формулу потенциала поля сферы, получим для потенциала центрального шара
где - постоянная закона Кулона, буквой обозначен заряд внешней поверхности сферы.
Аналогично находим потенциал сферы
Поскольку потенциал шара вдвое меньше потенциала сферы, получаем
Ответ. Заряд шара , заряд внешней поверхности сферы .