Росатом 2024, 11 класс, задача 4

Решение.

Очевидно, что в процессе установления равновесия крайние пластинки приобретут некоторые электрические заряды (равные по величине и противоположные по знаку). Действительно, если бы это было не так, то между крайними пластинками существовала бы разность потенциалов, поскольку в процессе переноса заряда с одной на другую электрическое поле совершало бы работу. А она должна быть равна нулю, поскольку крайние пластинки соединены проводником. Заряды этих пластин найдем из условия равенства нулю разности потенциалов между ними.

Пусть крайние пластины приобрели заряды и (см. рисунок). Тогда напряженность электрического поля между средними пластинками будет равна

( - площадь пластин, - электрическая постоянная), а между крайними и средними -

причем векторы и должны быть направленными противоположно. Работа, которую совершит электрическое поле при переносе пробного заряда между крайними пластинами, должна быть равна нулю. Отсюда получаем

Это значит, что по проводнику, соединяющему крайние пластинки в направлении верхней пластинки протечет электрический заряд .

Чтобы найти количество теплоты, выделившееся на резисторе, заметим, что после установления равновесия нашу цепь можно представить как три последовательно соединенных конденсатора с зарядами , и . Чтобы в этом убедиться, достаточно считать средние пластинки имеющими некоторую толщину. Тогда их верхние и нижние поверхности приобретут указанные заряды, так чтобы поле внутри самих пластинок равнялось бы нулю (см. рисунок). Причем емкости этих конденсаторов будут равны

Поэтому энергия цепи после установления равновесия будет равна

Начальная энергия цепи (до замыкания ключа) есть

Очевидно, вся избыточная энергия должна перейти в тепло , причем поскольку в цепи есть только один элемент, имеющий сопротивление, вся избыточная энергия выделится на резисторе